小学六年级奥数题及答案:奇偶性应用、整除问题（高等难度）

　奇偶性应用：（高等难度）

　　在圆周上有1987个珠子，给每一珠子染两次颜色，或两次全红，或两次全蓝，或一次红、一次蓝.最后统计有1987次染红，1987次染蓝.求证至少有一珠子被染上过红、蓝两种颜色。

　　奇偶性应用答案：

　　假设没有一个珠子被染上过红、蓝两种颜色，即所有珠子都是两次染同色.设第一次染m个珠子为红色，第二次必然还仅染这m个珠子为红色.则染红色次数为2m次。

　　∵2m≠1987（偶数≠奇数）

　　∴假设不成立。

　　∴至少有一个珠子被染上红、蓝两种颜色。

整除问题：（高等难度）

　　一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数。
 　整除问题答案：

　　这是一道古算题.它早在《孙子算经》中记有："今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？"

　　关于这道题的解法，在明朝就流传着一首解题之歌："三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知."意思是，用除以3的余数乘以70，用除以5的余数乘以21，用除以7的余数乘以15，再把三个乘积相加.如果这三个数的和大于105，那么就减去 105，直至小于105为止.这样就可以得到满足条件的解.其解法如下：

　　方法1：2×70+3×21+2×15=233

　　233-105×2=23

　　符合条件的最小自然数是23。