小学奥数数论问题完全平方数练习题【三篇】

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【第一篇】

一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。
　　解答：设此自然数为x，依题意可得

　　x-45=m^2; (1)

　　x+44=n^2 (2)

　　(m,n为自然数)

　　(2)-(1)可得 :

　　n^2-m^2=89或： (n-m)(n+m)=89

　　因为n+m>n-m

　　又因为89为质数，

　　所以：n+m=89; n-m=1

　　解之，得n=45。代入(2)得。故所求的自然数是1981。

【第二篇】

求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方
　　解答：设四个连续的整数为，其中n为整数。欲证

　　是一奇数的平方，只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。

　　证明 设这四个整数之积加上1为m，则

　　m为平方数

　　而n(n+1)是两个连续整数的积，所以是偶数;又因为2n+1是奇数，因而n(n+1)+2n+1是奇数。这就证明了m是一个奇数的平方。

【第三篇】

求证：11,111,1111,这串数中没有完全平方数
　　解答：形如的数若是完全平方数，必是末位为1或9的数的平方，即

　　或在两端同时减去1之后即可推出矛盾。

　　证明 若，则

　　因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。

　　若，则

　　因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。

　　综上所述，不可能是完全平方数。