2017数论奥数专项推荐练习试题

设这个连续的十个自然数列为:K=(a,a+1,a+2。。。。。。a+9)!
设：
a>11,且能被自然数x整除.
那么K/x=[a/x,(a+1)/x,(a+2)/x.......(a+9)/x]
=a/x,(a/x+1/x),(a/x+2/x)......(a/x+9/x)
∵a被x整除，显然x为任何数，K/x都出现非整数。
∴K存在质数。
∵a>11
∴K中的质数在十个连续自然数内不可能出现自身的倍数。
即K中的质数必与其他九个数互质。
设：
a<=11
7和11是质数，命题显然成立。
若a不能被x整除，则证明a自身为质数，命题依然成立!
∴任意十个连续的自然数中，至少有一个与其余九个互质!