一、非标准
1.以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线l的参数方程是(t为参数),圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ,求直线l被圆C截得的弦长.
2.在平面直角坐标系xOy中,若l:(t为参数)过椭圆C:(φ为参数)的右顶点,求常数a的值.
3.在极坐标系中,求圆ρ=4sinθ的圆心到直线θ=(ρR)的距离.
4.在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,求曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=-1的交点的极坐标.
5.(2014江苏,21)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,求线段AB的长.
6.(2014课标全国,文23)已知曲线C:=1,直线l:(t为参数).
(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的大值与小值.
7.在平面直角坐标系中,倾斜角为的直线l与曲线C:(α为参数)交于A,B两点,且|AB|=2.以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线l的极坐标方程.
8.在直角坐标平面内,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ,直线l的参数方程是(t为参数),M,N分别为曲线C,直线l上的动点,求|MN|的小值.
9.在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A,B两点,若AOB是等边三角形,求a的值.
10.(2014课标全国,文23)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,θ.
(1)求C的参数方程;
(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y=x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.
一、非标准
1.解:令f(x)=|2x-1|+|x+2|=可求得f(x)的小值为,故原不等式恒成立转化为a2+a+2≤恒成立,即a2+≤0,
即(a+1)≤0,
解得a.
2.解:|x|+|x-1|≥|x-(x-1)|=1,当且仅当0≤x≤1时取等号,
|y|+|y-1|≥|y-(y-1)|=1,当且仅当0≤y≤1时取等号,
|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≥2.①
又|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,②
∴只有当0≤x≤1,0≤y≤1时,两式同时成立.
0≤x+y≤2.
3.解:由|1+a|-|1-a|≤2,
得|x|+|x-1|≥2.
当x<0时,-x+1-x≥2,x≤-.
当0≤x≤1时,x+1-x≥2,无解.
当x>1时,x+x-1≥2,x≥.
综上,x≤-或x≥.
4.解:函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,即|x-2|>-|x+3|+m对任意实数x恒成立,
即|x-2|+|x+3|>m恒成立.
因为对任意实数x恒有|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5,所以m<5,即m的取值范围是(-∞,5).
5.解法一:由于(x+y+z)
≥
=36.
所以≥36,小值为36.
当且仅当x2=y2=z2,
即x=,y=,z=时,等号成立.
解法二:
=(x+y+z)+(x+y+z)+(x+y+z)
=14+≥14+4+6+12=36.小值为36.
当且仅当y=2x,z=3x,即x=,y=,z=时,等号成立.
6.证明:因为x>0,y>0,
所以1+x+y2≥3>0,
1+x2+y≥3>0,
故(1+x+y2)(1+x2+y)
≥3·3=9xy.
7.解法一:(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx≤3(x2+y2+z2),
∴a2+4b2+9c2
≥(a+2b+3c)2==12.
∴a2+4b2+9c2的小值为12.
解法二:由柯西不等式,
得(a2+4b2+9c2)·(12+12+12)
≥(a·1+2b·1+3c·1)2=36,
故a2+4b2+9c2≥12,
从而a2+4b2+9c2的小值为12.
8.解:利用绝对值不等式的性质求解.
|x-a|+|x-1|≥|(x-a)-(x-1)|=|a-1|,
要使|x-a|+|x-1|≤3有解,
可使|a-1|≤3,-3≤a-1≤3,
∴-2≤a≤4.
9.解:(1)构造函数g(x)=|x-1|+|x-2|-5,则g(x)=
令g(x)>0,则x<-1或x>4,
原不等式的解集为(-∞,-1)(4,+∞).
(2)∵f(x)+a=|x+a|+|x-2|+a≥|a+2|+a,
又关于x的不等式f(x)+a<2014的解集是非空集合,
|a+2|+a<2014,解得a<1006.
10.解:(1)由f(x)≤3,得|x-a|≤3,
解得a-3≤x≤a+3.
又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5},
所以解得a=2.
(2)当a=2时,f(x)=|x-2|,
设g(x)=f(x)+f(x+5),
于是g(x)=|x-2|+|x+3|
=
所以当x<-3时,g(x)>5;
当-3≤x≤2时,g(x)=5;
当x>2时,g(x)>5.
综上可得,g(x)的小值为5.
从而若f(x)+f(x+5)≥m,
即g(x)≥m对一切实数x恒成立,则m的取值范围为(-∞,5].
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