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2016年西藏高考数学模拟试题5

2016-03-23 16:15:00 来源:无忧考网

题型一 直线和椭圆的位置关系

例1 如图所示,椭圆C1:+=1(a>b>0)的离心率为,x轴被曲线C2:y=x2-b截得的线段长等于C1的短轴长.C2与y轴的交点为M,过坐标原点O的直线l与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1相交于点D,E.

(1)求C1,C2的方程;

(2)求证:MA⊥MB;

(3)记△MAB,△MDE的面积分别为S1,S2,若=λ,求λ的取值范围.

破题切入点 (1)利用待定系数法求解曲线C1,C2的方程.

(2)设出直线AB和曲线C2联立,利用坐标形式的向量证明.

(3)将S1和S2分别表示出来,利用基本不等式求最值.

(1)解 由题意,知=,

所以a2=2b2.

又2=2b,得b=1.

所以曲线C2的方程:y=x2-1,椭圆C1的方程:+y2=1.

(2)证明 设直线AB:y=kx,A(x1,y1),B(x2,y2),

由题意,知M(0,-1).

则x2-kx-1=0,

·=(x1,y1+1)·(x2,y2+1)

=(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+1

=-(1+k2)+k2+1=0,

所以MA⊥MB.

(3)解 设直线MA的方程:y=k1x-1,直线MB的方程:y=k2x-1,

由(2)知k1k2=-1,M(0,-1),

由解得或

所以A(k1,k-1).

同理,可得B(k2,k-1).

故S1=MA·MB=·|k1||k2|.

由解得或

所以D(,).

同理,可得E(,).

故S2=MD·ME

=·,

=λ==≥,

则λ的取值范围是[,+∞).


题型二 直线和双曲线的位置关系

例2 已知双曲线C:x2-y2=1及直线l:y=kx-1.

(1)若l与C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;

(2)若l与C交于A,B两点,O是坐标原点,且△AOB的面积为,求实数k的值.

破题切入点 (1)联立方程组,利用Δ>0求出k的取值范围.

(2)联立方程用根与系数的关系求解.

解 (1)双曲线C与直线l有两个不同的交点,

则方程组有两个不同的实数根,

整理得(1-k2)x2+2kx-2=0.

解得-|x2|时,

S△OAB=S△OAD-S△OBD=(|x1|-|x2|)

=|x1-x2|;

当A,B在双曲线的两支上且x1>x2时,

S△OAB=S△ODA+S△OBD=(|x1|+|x2|)

=|x1-x2|.

∴S△OAB=|x1-x2|=,∴(x1-x2)2=(2)2,

即()2+=8,解得k=0或k=±.

又∵-0,b>0)的上焦点为F,上顶点为A,B为虚轴的端点,离心率e=,且S△ABF=1-.抛物线N的顶点在坐标原点,焦点为F.

(1)求双曲线M和抛物线N的方程;

(2)设动直线l与抛物线N相切于点P,与抛物线的准线相交于点Q,则以PQ为直径的圆是否恒过y轴上的一个定点?如果是,试求出该点的坐标,如果不是,请说明理由.

破题切入点 (1)根据双曲线的性质,用a,c表示已知条件,建立方程组即可求解双曲线的方程,然后根据抛物线的焦点求出抛物线的方程.

(2)设出点P的坐标,根据导数的几何意义求出切线方程,并求出点Q的坐标,然后根据圆的性质列出关于点P的坐标的方程,将问题转化为方程恒成立的问题来解决.

解 (1)在双曲线中,c=,

由e=,得=,

解得a=b,故c=2b.

所以S△ABF=(c-a)×b=(2b-b)×b

=1-,解得b=1.

所以a=,c=2,其上焦点为F(0,2).

所以双曲线M的方程为-x2=1,

抛物线N的方程为x2=8y.

(2)由(1)知抛物线N的方程为y=x2,

故y′=x,抛物线的准线为y=-2.

设P(x0,y0),则x0≠0,y0=x,

且直线l的方程为y-x=x0(x-x0),

即y=x0x-x.

由得

所以Q(,-2).

假设存在点R(0,y1),使得以PQ为直径的圆恒过该点,

也就是·=0对于满足y0=x(x0≠0)的x0,y0恒成立.

由于=(x0,y0-y1),=(,-2-y1),

由·=0,

得x0·+(y0-y1)(-2-y1)=0,

整理得-2y0-y0y1+2y1+y=0,

即(y+2y1-8)+(2-y1)y0=0,(*)

由于(*)式对满足y0=x(x0≠0)的x0,y0恒成立,

所以解得y1=2.

故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点,定点坐标为(0,2).


总结提高 直线和圆锥曲线的位置关系问题,万变不离其宗,构建属于自己的解题模板,形成一定的解题思路,利用数形结合思想来加以解决.

1. 设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l过F且与抛物线C交于M,N两点,已知当直线l与x轴垂直时,△OMN的面积为2(O为坐标原点).

(1)求抛物线C的方程;

(2)是否存在直线l,使得以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰好在y轴上,若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由.

解 (1)当直线l与x轴垂直时,则|MN|=2p,

∴S△OMN=·2p·==2,即p=2.

∴抛物线C的方程为y2=4x.

(2)∵直线l与x轴垂直时,不满足.设正方形的第三个顶点为P.

故可设直线l:y=k(x-1)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),P(0,y0),

联立可化简得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,

则代入直线l可得MN的中点为(,),

则线段MN的垂直平分线为y-=-(x-1-),

故P(0,+).

又·=0,则x1x2+(y1-y0)(y2-y0)=0.

即x1x2+y1y2-y0(y1+y2)+y=0.

1-4-y0·+y=0,化解得ky-4y0-3k=0,

由y0=+代入上式,化简得(3k4-4)(k2+1)=0.

解得k=± .∴存在直线l:y=± (x-1).

2.(2013·广东)已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为.设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.

(1)求抛物线C的方程;

(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;

(3)当点P在直线l上移动时,求AF·BF的最小值.

解 (1)依题意知=,c>0,解得c=1.

所以抛物线C的方程为x2=4y.

(2)由y=x2得y′=x,

设A(x1,y1),B(x2,y2),

则切线PA,PB的斜率分别为x1,x2,

所以切线PA的方程为y-y1=(x-x1),

即y=x-+y1,即x1x-2y-2y1=0.

同理可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2=0,

又点P(x0,y0)在切线PA和PB上,

所以x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0,

所以(x1,y1),(x2,y2)为方程x0x-2y0-2y=0 的两组解,

所以直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0.

(3)由抛物线定义知AF=y1+1,BF=y2+1,

所以AF·BF=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1,

联立方程

消去x整理得y2+(2y0-x)y+y=0,

∴y1+y2=x-2y0,y1y2=y,

∴AF·BF=y1y2+(y1+y2)+1=y+x-2y0+1

=y+(y0+2)2-2y0+1=2y+2y0+5

=22+,

∴当y0=-时,AF·BF取得最小值,且最小值为.

3.(2013·浙江)

如图,点P(0,-1)是椭圆C1:+=1(a>b>0)的一个顶点,C1的长轴是圆C2:x2+y2=4的直径.l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l1交圆C2于A,B两点,l2交椭圆C1于另一点D.

(1)求椭圆C1的方程;

(2)求△ABD面积取值时直线l1的方程.

解 (1)由题意得

所以椭圆C1的方程为+y2=1.

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).

由题意知直线l1的斜率存在,不妨设其为k,

则直线l1的方程为y=kx-1.

又圆C2:x2+y2=4,

故点O到直线l1的距离d=,

所以AB=2=2 .

又l2⊥l1,故直线l2的方程为x+ky+k=0.

消去y,整理得(4+k2)x2+8kx=0,

故x0=-.所以PD=.

设△ABD的面积为S,

则S=·AB·PD=,

所以S=

=,

当且仅当k=±时取等号.

所以所求直线l1的方程为y=±x-1.

4.已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)的焦距为4,以原点为圆心,实半轴长为半径的圆和直线x-y+=0相切.

(1)求双曲线E的方程;

(2)已知点F为双曲线E的左焦点,试问在x轴上是否存在一定点M,过点M任意作一条直线交双曲线E于P,Q两点(P在Q点左侧),使·为定值?若存在,求出此定值和所有的定点M的坐标;若不存在,请说明理由.

解 (1)由题意知=a,

∴a=.

又∵2c=4,∴c=2,∴b==1.

∴双曲线E的方程为-y2=1.

(2)当直线为y=0时,

则P(-,0),Q(,0),F(-2,0),

∴·=(-+2,0)·(+2,0)=1.

当直线不为y=0时,

可设l:x=ty+m(t≠±)代入E:-y2=1,

整理得(t2-3)y2+2mty+m2-3=0(t≠±).(*)

由Δ>0得m2+t2>3.

设方程(*)的两个根为y1,y2,

满足y1+y2=-,y1y2=,

∴·=(ty1+m+2,y1)·(ty2+m+2,y2)

=(t2+1)y1y2+t(m+2)(y1+y2)+(m+2)2

=.

当且仅当2m2+12m+15=3时,·为定值,

解得m1=-3-,m2=-3+(舍去).

综上,过定点M(-3-,0)任意作一条直线交双曲线E于P,Q两点,使·=1为定值.

5.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x10,y0>0),

则切线斜率为-,切线方程为y-y0=-(x-x0),

即x0x+y0y=4,此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S=··=.

由x+y=4≥2x0y0知当且仅当x0=y0=时,x0y0有值,即S有最小值,

因此点P的坐标为(,).

由题意知解得

故C1的方程为x2-=1.

(2)由(1)知C2的焦点坐标为(-,0),(,0),

由此设C2的方程为+=1,其中b1>0.

由P(,)在C2上,得+=1,

解得b=3,因此C2的方程为+=1.

显然,l不是直线y=0.

设l的方程为x=my+,点A(x1,y1),B(x2,y2),

由得(m2+2)y2+2my-3=0,

又设y1,y2是方程的根,因此

由x1=my1+,x2=my2+,得

因为=(-x1,-y1),=(-x2,-y2),

由题意知·=0,

所以x1x2-(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+4=0,⑤

将①②③④代入⑤整理得2m2-2m+4-11=0,

解得m=-1或m=-+1.

因此直线l的方程为x-(-1)y-=0或x+(-1)y-=0.



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