高一数学竞赛专题培训讲解

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方程理论及应用
一． 一元同余方程
1． 形式： 不能整除 ………………（1）
2． 讨论 的解
分析：1）
设 是模m的完系，因为 ，所以 也是模m的完系。因此，其中必有且只有一个树与零同余，即 ，即（1）有解。
由（1）得： ，由欧拉定理知： ，所以
2） ＞1
设（1）有解，则d︱b；反过来，设d︱b，因为 ，所以 ……（2）有解，所以（1）有解。所以，（1）和（2）是等价的。下面求（2）的解即可。但是要注意，（1）和（2）的模不同，所以（2）的相同的解不一定也是（1）的相同的解，下面我们在（2）的所有解中来求（1）的所有不相同的解。
设（2） 的解为： ，则所以形如 （t为任意整数）的数都是（2）的解，因此这些数中所有关于模m不同余的数就是（1）的所有解。
因为当 ……（3）时，有 ，所以 ；反之也成立，所以（3）成立的充要条件是
因此，在所有形如 的数中只要t取关于模d不同余的数，所得到的数就关于模m不同余，所以 就是（1）的所有解。
定理1 一元同余方程中，
当 ，有解，
＞1， 有解 d︱b， ， 其中 是 的解。
定理2 （中国剩余定理）设 两两互质，
则同余方程组 （4）
对于模 有解：
其中： ，
二． 二元不定方程。
1． 形式：
2．定理： 有解 ︱c
三．例题讲解。
例1． 解同余式。
1）
2）
3）
4）
例2． 解同余方程组。
1） 2） 3）
例3． 求出小的正整数，它的一半是整数的平方，它的 是整数的三次方，它的 是整数的五次方。
例4． 解二元不定方程。
1）
2）求： 的整数解
高斯函数
一． 定义。
叫高斯函数，定义域为R，y是不超过x的大整数。
注：1）
2）
二． 性质。
1） 定义： 为x的小数部分，所以
2） 是不减函数，当 时，
3） 中整数部分可以外拿，
4） 有
5） 若 则
6） 在 中，m的倍数有 个
三． 应用技巧。
1） 充分利用 的定义，根据定义，任意实数 ，而0≤ ＜1，于是，将关于任意实数x的问题，归结到讨论区间（0，1）上的关于 的问题。
2） 有意识的利用 的性质，特别是前四个性质，因为这四个性质是直接由定义派生出来的，可以说是函数 的本质属性的推论。
3） 充分利用典型区间，设m= ，p= ，则x=m+p，其中0≤p＜1，于是，问题归纳到在[0，1]上讨论。为此需要对区间（0，1）进行划分，分段讨论，又常分成几个相等的小段： ，于是问题的讨论只要在典型区间 上进行即可。
四． 例题讲解
例1． 任何实数x，y，
求证：
例2． 求：
例3． 设r是实数且满足条件：
求： （第xx届美国数学邀请赛AIME试题）
例4． 在数列 = 中每个奇数k出现k次，设有整数p,q,r存在，对所有正整数n，满足 ，其中 表示不大于x的大整数，
求： 的值。（《数学通讯》问题征解题）