2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考

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一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）
1．函数的值域为________________．
2．已知，，则_______________．
3．已知数列满足：为正整数，如果，则 ．
4．设集合，是的子集，且满足，，那么满足条件的子集的个数为 ．
5．过原点的直线与椭圆：交于两点，是椭圆上异于的任一点．若直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为_______________．
6．在△中，，．设是△的内心，若，则的值为_______________．
7．在长方体中，已知，则长方体的体积时，为_______________．
8．设表示不超过的整数，则 ．
二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）
9．已知正项数列满足且，，求的通项公式．

10．已知正实数满足，且，求的取值范围．

11．已知点为抛物线内一定点，过作斜率分别为的两条直线交抛物线于，且分别是线段的中点．
（1）当且时，求△的面积的最小值；
（2）若（为常数），证明：直线过定点．

2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案
（高二年级）
说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。

一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）
1．函数的值域为．
2．已知，，则．
3．已知数列满足：为正整数，

如果，则 5 ．
4．设集合，是的子集，且满足，，那么满足条件的子集的个数为 185 ．
5．过原点的直线与椭圆：交于两点，是椭圆上异于的任一点．若直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为．
6．在△中，，．设是△的内心，若，则的值为．
7．在长方体中，已知，则长方体的体积时，为．
8．设表示不超过的整数，则 2012 ．
二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）
9．已知正项数列满足且，，求的通项公式．
解 在已知等式两边同时除以，得，
所以 ． ------------------------------------------4分
令,则，即数列是以＝4为首项,4为公比的等比数列，所以. ------------------------------------------8分
所以,即 . ------------------------------------------12分
于是，当时,

，
因此, ------------------------------------------16分

10．已知正实数满足，且，求的取值范围．
解 令