重庆邮电大学2009年硕士研究生《高等数学》初试大纲

　　本课程是重庆邮电大学理论物理专业硕士研究生考试课程。主要内容如下：
　　一、函数、极限、连续
　　1. 理解函数的概念，掌握函数的表示法，能建立简单应用问题中的函数关系式。
　　2. 理解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。掌握判断函数这些性质的方法。
　　3. 理解复合函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。会求给定函数的复合函数和反函数。
　　4. 掌握基本初等函数的性质及其图形。
　　5. 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系。
　　6. 掌握极限的性质及四则运算法则，会运用它们进行一些基本的判断和计算。
　　7. 掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限。掌握利用两个重要极限求极限的方法。
　　8. 理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
　　9. 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续）。
　　二、一元函数微分学
　　1. 理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，掌握函数的可导性与连续性之间的关系。
　　2. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的求导公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
　　3. 了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数。
　　4. 会求分段函数的一阶、二阶导数。
　　5. 会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数
　　6. 会求反函数的导数。
　　7. 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理。
　　8. 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数大值和小值的求法及其简单应用。
　　9. 会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。
　　10. 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。
　　11. 了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。
　　三、一元函数积分学
　　1. 理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念。
　　2. 掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理。掌握牛顿－莱布尼茨公式。掌握不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法。
　　3. 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。
　　4. 理解变上限定积分定义的函数，会求它的导数。
　　5. 理解广义积分（无穷限积分、瑕积分）的概念，掌握无穷限积分、瑕积分的收敛性判别法，会计算一些简单的广义积分。
　　6. 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力）及函数的平均值。
　　四、向量代数和空间解析几何
　　1. 熟悉空间直角坐标系，理解向量及其模的概念。
　　2. 掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），了解两个向量垂直、平行的条件。
　　3. 理解向量在轴上的投影，了解投影定理及投影的运算。理解方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。
　　4. 掌握平面方程和空间直线方程及其求法。
　　5. 会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。
　　6. 会求空间两点间的距离、点到直线的距离以及点到平面的距离。
　　7. 了解空间曲线方程和曲面方程的概念。
　　8. 了解空间曲线的参数方程和一般方程。了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。
　　9. 了解常用二次曲面的方程及其图形。
　　五、多元函数微分学
　　1. 理解多元函数的概念、理解二元函数的几何意义。
　　2. 理解二元函数的极限与连续性的概念及基本运算性质，了解二元函数累次极限和极限的关系 会判断二元函数在已知点处极限的存在性和连续性 了解有界闭区域上连续函数的性质。
　　3. 理解多元函数偏导数和全微分的概念 了解二元函数可微、偏导数存在及连续的关系，会求偏导数和全微分，了解二元函数两个混合偏导数相等的条件 了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。
　　4. 掌握多元复合函数偏导数的求法。
　　5. 掌握隐函数的求导法则。
　　6. 理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。
　　7. 理解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。
　　8. 了解二元函数的二阶泰勒公式。
　　9. 理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的大值、小值，并会解决一些简单的应用问题。
　　10. 了解全微分在近似计算中的应用
　　六、多元函数积分学
　　1. 理解二重积分、三重积分的概念，掌握重积分的性质。
　　2. 掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标），掌握二重积分的换元法。
　　3. 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。
　　4. 掌握计算两类曲线积分的方法。
　　5. 掌握格林公式，掌握平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。
　　6. 了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，会用高斯公式、斯托克斯公式计算曲面、曲线积分。
　　7. 了解散度、旋度的概念，并会计算。
　　8. 了解含参变量的积分和莱布尼茨公式。
　　9. 会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、曲面的面积、物体的体积、曲线的弧长、物体的质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等）。
　　七、无穷级数
　　1. 理解常数项级数的收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件
　　2. 掌握无穷级数的收敛与发散的条件。
　　3. 掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。
　　4. 掌握交错级数的莱布尼茨判别法。
　　5. 了解任意项级数的绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。
　　6. 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。
　　7. 理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。
　　8. 了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。
　　9. 了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。
　　10. 掌握一些常见函数如ex、sin x、cos x、ln(1+x)和(1+x)α等的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。
　　11. 会利用函数的幂级数展开式进行近似计算。
　　12. 了解傅里叶级数的概念和狄利克雷定理，会将定义在[-l，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会将周期为2l的函数展开为傅里叶级数。
　　13. 了解函数项级数的一致收敛性及一致收敛的函数项级数的性质，会判断函数项级数的一致收敛性。
　　八、常微分方程
　　1. 掌握微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念。
　　2. 掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。
　　3. 会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。
　　4. 会用降阶法解下列方程：y(n)=f(x)，y”=f(x，y’)和y”=f(y，y’)
　　5. 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。了解解二阶非齐次线性微分方程的常数变易法。
　　6. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。
　　7. 会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程。
　　8. 会解欧拉方程。
　　9. 了解微分方程的幂级数解法。
　　10. 了解简单的常系数线性微分方程组的解法。
　　11. 会用微分方程解决一些简单的应用问题。
　　参考书：
　　《高等数学（上、下册）》（第五版），同济大学应用数学系主编，高等教育出版社，2002年。